今回の内容
今回の内容は以下の通りです。今回も数Ⅰの基本的なところをお勉強します。特に用語の意味、定義をしっかり抑えていきます

 

 

第一章 数と式

1~3はこちらへ↓

4.実数

整数:$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 自然数:1,2,3,・・・ \\ 0 \\ -1,-2,-3,・・・ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

有理数:整数mと0でない整数を用いて分数$\frac{m}{n}$の形に表される

A 有理数

有限小数:小数第何位かで終わる少数

無限小数:小数点以下の数字が限りなく続く少数
→ 循環小数:無限小数のうちある位以下では同じ並びが繰り返される少数

B 実数

実数:整数と有限小数または無限小数

無理数:実数のうち、有理数でない数。循環しない無限小数で表され、分数で表すことはできない。

 

C 数の範囲と四則計算

2つの数a,bの四則計算について

(1)a,bが自然数のとき

和 a+b, 積 ab は常に自然数である

差 a-b, 商 $\frac{a}{b}$ は必ずしも自然数であるとは限らない。

 

(2)a,bが整数のとき

和 a+b, 差 a-b, 積 ab は常に整数である

$\frac{a}{b}$ は必ずしも整数であるとは限らない。

よって

2つの有理数の和、差、積、商は常に有理数である。

2つの実数の和、差、積、商は常に実数である。

5.根号を含む式の計算

平方根

2乗するとaになる数をaの平方根という。

正の数aの平方根は2つあり、それらは絶対値が等しく符号が異なる。

aの平方根 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 正の平方根 \sqrt{a} \\ 負の平方根 -\sqrt{a} \end{array} \right. \end{eqnarray}$   合わせて $\pm\sqrt{a}$と書く

 

根号を含む式の計算

平方根の積と商について、次のことが成り立つ

 

$a \gt 0 ,b \gt 0 $ のとき

$\cdot\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

また、

$a\gt 0, k\gt 0$のとき $\sqrt{{k}^{2}a}=k\sqrt{a}$

 

分母の有理化

分母の有理化:分母に根号を含む形を変形して、分母に根号を含まない式にすること

例:

$\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

6.不等式の性質

文章を不等式で表してみる

例:

・ある数xの3倍から5を引いた数は10より小さい

→ $3x-5 \lt 10$

・2つの数 a,b の和は正で、かつ5以下である。

→ $0 \leqq a+b \lt 5$

 

不等式の性質

両辺に同じ数を足しても両辺の大小関係は変わらない

→ $a \lt b$ のとき、$a+2 \lt b+2$

 

両辺から同じ数を引いても、両辺の大小関係は変わらない。

→ $a \lt b$ のとき、$a-2 \lt b-2$

 

両辺に同じ正の数を掛けても、両辺の大小関係は変わらない。

→ $a \lt b$ のとき、$2a \lt 2b$

 

両辺に同じ負の数を掛けると、両辺の大小関係は入れ替わる。

→ $a \lt b$ のとき、$-2a \gt -2b$

 

7.一次不等式

「不等式の性質」により方程式と同じように移項による式の変形ができる。

例:$3x-5 \lt 10$を解く。

$3x \lt 10+5$

$3x \lt 15$

$\therefore    \ x \lt 5$

 

連立不等式

例:次の連立不等式を解け。

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5x+3 \gt 3x+1 \\ -x+4 \geqq 2(x-1) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

解答:

$5x+3 \gt 3x+1$ より

$5x-3x \gt 1-3$

$2x \gt -2$

$\therefore    \ x \gt -1 \ldots ①$

 

$-x+4 \geqq 2(x-1)$ より

$-x+4 \geqq 2x-2$

$-x-2x \geqq -2-4$

$-3x \geqq -6$

$x \leqq 2 \ldots ②$

①,②より

$\therefore  \ -1 \lt x \leqq  2$

 

1次不等式の応用

例:

次の不等式を満たす自然数 n をもとめよ。

$200+12(n-10)\leqq 15n$

 

解答:

$200+12n-120\leqq 15n$

$12n-15n\leqq -80$

$-3n\leqq -80$

$n\geqq 26.666\ldots$

よってこれを満たす自然数nは

$n=27$

 

8.絶対値を含む方程式・不等式

絶対値を含む方程式・不等式

cが正の定数のとき、

・方程式 $|x|=c$の解は $x=\pm c$

・方程式 $|x| \lt c$ の解は $-c\lt x \lt c$

・方程式 $|x| \gt c$ の解は $x\gt -c,c \lt x$

 

まとめ

今回も数Ⅰの基本的なところをお勉強しました。

今回はここまで。