今回は「三角比」です。

数Ⅰを勉強しているので「三角比」が正解で「三角関数」ではありません。

教科書をよく読むと確かに「三角比」と書かれていて、「三角関数」という単語は一度も出てきません。

(「三角関数」という単語が登場するのは数Ⅱ)

高校時代に勉強したはずの三角関数が全く記憶にないのは、このあたりに原因がありそうです。よって教科書をよく読んでイチから勉強し直すことにします。

 

定義の再確認

まず「三角比」と「三角関数」がごっちゃになる原因を探ります。

それぞれの定義を簡単に言うと

三角比:
直角三角形の2辺の長さの比。直角三角形を考えるので一つの鋭角が $0^\circ\lt\theta\lt90^\circ$ の範囲でしか動かない。(ただし、数Ⅰの教科書では$180^\circ$まで拡張される)

三角関数:
$0^\circ\lt\theta\lt90^\circ$ の範囲を超えて全ての実数に対して定義されたもの。

となります。

ひとまず「三角関数」という大きなくくりのうち、「直角三角形」という限定されたケースを考えるのが「三角比」ということにしておきます。

改めて「三角比」とは?

直角三角形を考えます。

直角三角形の鋭角の一つを θ とし、斜辺の長さをr、他の辺の長さをx、y とすると

$\frac{y}{x},\frac{x}{r},\frac{y}{x}$

の値は、三角形の大きさに関係なく、いずれも角θの大きさだけで決まります。

これらをそれぞれθの正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)といい

$sin\theta,cos\theta,tan\theta$

と書きます。

この正弦、余弦、正接をまとめて「三角比」といいます。

 

三角比の応用

直角三角形を考えます。

$sin\theta=\frac{y}{r}$

なので

$y=rsin\theta$

が成り立ちます。

同様に

$cos\theta=\frac{x}{r}$ → $x=rcos\theta$

$tan\theta=\frac{y}{x}$ → $y=xtan\theta$

が成り立ちます。

 

三角比の相互関係

直角三角形を考えます。

$x=rcos\theta$

$y=rsin\theta$

なので、

$tan\theta=\displaystyle\frac{y}{x}=\frac{rsin\theta}{rcos\theta}=\frac{sin\theta}{cos\theta}$

となる。

 

三平方の定理より

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

すなわち

$r^{2}(cos\theta)^{2}+r^{2}(sin\theta)^{2}=r^{2}$

よって

$cos^{2}\theta+sin^{2}\theta=1$

となる。

 

また、この等式の両辺を$cos^{2}$で割ると

$1+\displaystyle(\frac{sin\theta}{cos\theta})^{2}=\frac{1}{cos^{2}\theta}$

$1+\displaystyle tan^{2}\theta=\frac{1}{cos^{2}\theta}$

となる。

 

$90-\theta$ の三角比

直角三角形を考えます。

上図の直角三角形について、次のことがいえる。

$sin\alpha=\frac{x}{r}=cos\theta$

$cos\alpha=\frac{y}{r}=sin\theta$

 

また、

$\displaystyle tan\alpha \times tan\theta=\frac{x}{y}\times \frac{y}{x}=1$

が成り立つ。

 

角αは$90^{ \circ } -\theta$なので、鋭角$\theta$について以下が成り立つ。

$sin(90^{ \circ } -\theta)=cos\theta$

$cos(90^{ \circ } -\theta)=sin\theta$

$\displaystyle tan(90^{ \circ } -\theta)=\frac{1}{tan\theta}$

 

まとめ

三角比の基本的なことをお勉強しました。公式をまるごと暗記するのはなかなかしんどいですが、正弦、余弦、正接の定義をまず押さえることでそれ以降の応用に対応できるようになるはずです。