線形代数学に挑む
線形代数学の入り口、ベクトルの基本をお勉強します。以前プログラミングの配列と行列の違いをやりましたが、今回はプログラミング抜きの数学のお話になります。
ベクトルの基本
まずは、ベクトルです。超基本的なことから確認します。
ベクトルとは？
物理・数学：
大きさだけでなく、向きももった量。
数学：
数の並び
超大雑把ですが現時点では、こういうことにしておきます。
つまり
$\begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix}$ これもベクトル
$\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ これもベクトル
$\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ これもベクトルになります。
数字が２個並んでいるものは２次元ベクトル。
数字が３個並んでいるものは３次元ベクトルです。
ベクトルの和・差
例題：
$a=\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$のとき, a+b ,a-b を求めよ
解答：
$a+b =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -1+2 \\ 5+(-3) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
$a-b =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix}$
ベクトルの和・差は同じ次元のベクトル同士でないと計算できません。
ベクトルの定数倍
$2a=2\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2×(-1) \\ 2×5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix}$
次元が増えても同様。
ベクトルの計算法則
これも大雑把な言い方をすると、
「ベクトルを文字にすると、文字の計算と同じように計算できる」
と覚えます。
ベクトルの計算法則
a,b,c をべクトルとすると
・結合法則
$(a+b)+c=a+(b+c) $
：３つのベクトルを足すときはどの２つから足してもよい。
・交換法則
$a+b=b+a$
：足し算の順序を入れ替えても良い。
k,l を実数とするとベクトルの定数倍について
・ベクトルの分配法則
$k(a+b)=ka+kb$
・定数倍の分配法則
$(k+l)a=ka+la$
$k(la)=(kl)a$
l 倍のk倍は、 一度にkl倍すればよい
1・a=a
1をかけても変わらない
0・a＝0
0（ゼロ）をかけるとゼロベクトルになる
が成り立つ。
例題：
$a= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ のとき
$-2(-3a-b)+3(-a+2b)$
を計算せよ
解答：
$-2(-3a-b)+3(-a+2b)$
$=6a+2b-3a+6b$
$=3a+8b$
$=3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ \end{pmatrix}+8\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -3 \\ \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3*3 \\ 3*2 \\ 3*(-1) \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 8*(-2) \\ 8*2 \\ 8*(-3) \\ \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ -3 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -16 \\ 16 \\ -24 \\ \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -7 \\ 22 \\ -21 \\ \end{pmatrix}$
内積の計算
公式：
$a=\begin{pmatrix} p\\q\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$のとき
$a・b＝px+qy$
例：
$a=\begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$の内積は
$a・b=\begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$
$=3*1+4*2$
$=11$
例：
$a=\begin{pmatrix} 3\\4\\5\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}$の内積は
$a・b=\begin{pmatrix} 3\\4\\5\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}$
$=3*1+4*2+5*3$
$=26$
例：
$a=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix},c=\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}$のとき,以下の式を確認せよ。
① $a・a>0$
$a・a=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$
$=(-1)*(-1)+2*2$
$=5>0$
※自身と自身の内積は２乗の和になり、実数の２乗は０以上になるため。
② $a・c=c・a$
$a・c=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}$
$=(-1)*1+2*(-2)$
$=-1-4$
$=-5$
$c・a=\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$
$=1*(-1)+(-2)*2$
$=-1-4$
$=-5$
$a・c=c・a$
③ $3(a・b)=(3a)・b$
$3(a・b)=3\left(\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix}\right)$
$=3((-1)*2+2*3)$
$=3(-2+6)$
$=12$
$3(a)・b=\left(3\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix}\right)・\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 6\\9\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$
$=6*(-1)+9*2$
$=-6+18$
$=12$
$3(a・b)=(3a)・b$が成り立っています。
④ $a・(b+c)=a・b+a・c$
$a・(b+c)=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\left( \begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}\right)$
$=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 2+1\\3-2\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 3\\1\end{pmatrix}$
$=(-1)*3+2*1$
$=-3+2$
$=-1$
$a・b+a・c=\left( \begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix}\right)+\left( \begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}\right)$
$=((-1)*2+2*3)+((-1)*1+2*(-2))$
$=-2+6-1-4$
$=-1$
$a・(b+c)=a・b+a・c$が成り立っています。
まとめ
線形代数学の入り口、ベクトルの超基本的なところをお勉強しました。高校時代もこの程度までならついていけたような気がしますが…
今回はここまで。
