線形代数学に挑む

線形代数学の入り口、ベクトルの基本をお勉強します。以前プログラミングの配列と行列の違いをやりましたが、今回はプログラミング抜きの数学のお話になります。

文系高卒おじさん 「配列」という沼にハマる。

ベクトルの基本

まずは、ベクトルです。超基本的なことから確認します。

 

ベクトルとは?

物理・数学:

大きさだけでなく、向きももった量。

 

数学:

数の並び

 

超大雑把ですが現時点では、こういうことにしておきます。

つまり

$\begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix}$ これもベクトル

$\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ これもベクトル

$\begin{pmatrix} 1 \\  5 \\ 6 \end{pmatrix}$ これもベクトルになります。

数字が2個並んでいるものは2次元ベクトル。

数字が3個並んでいるものは3次元ベクトルです。

 

ベクトルの和・差

例題:

$a=\begin{pmatrix} -1 \\  5  \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix} 2 \\  -3   \end{pmatrix}$のとき, a+b ,a-b を求めよ

解答:

$a+b =\begin{pmatrix} -1 \\  5  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\  -3   \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -1+2 \\  5+(-3)  \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 \\  2  \end{pmatrix}$

 

$a-b =\begin{pmatrix} -1 \\  5  \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\  -3   \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -1-2 \\  5-(-3)  \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -3 \\  8  \end{pmatrix}$

ベクトルの和・差は同じ次元のベクトル同士でないと計算できません。

 

ベクトルの定数倍

$2a=2\begin{pmatrix} -1 \\  5  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2×(-1) \\  2×5  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\  10  \end{pmatrix}$

次元が増えても同様。

 

ベクトルの計算法則

これも大雑把な言い方をすると、

「ベクトルを文字にすると、文字の計算と同じように計算できる」

と覚えます。

ベクトルの計算法則

a,b,c をべクトルとすると

・結合法則

$(a+b)+c=a+(b+c) $

:3つのベクトルを足すときはどの2つから足してもよい。

 

・交換法則

$a+b=b+a$

:足し算の順序を入れ替えても良い。

 

k,l を実数とするとベクトルの定数倍について

・ベクトルの分配法則

$k(a+b)=ka+kb$

 

・定数倍の分配法則

$(k+l)a=ka+la$

 

$k(la)=(kl)a$

l 倍のk倍は、 一度にkl倍すればよい

 

1・a=a

1をかけても変わらない

 

0・a=0

0(ゼロ)をかけるとゼロベクトルになる

 

が成り立つ。

 

例題:

$a=  \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\  \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ のとき

$-2(-3a-b)+3(-a+2b)$

を計算せよ

 

解答:

$-2(-3a-b)+3(-a+2b)$

$=6a+2b-3a+6b$

$=3a+8b$

$=3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\  \end{pmatrix}+8\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -3 \\  \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 3*3 \\ 3*2 \\ 3*(-1) \\  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 8*(-2) \\ 8*2 \\ 8*(-3) \\  \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ -3 \\  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -16 \\ 16 \\ -24 \\  \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -7 \\ 22 \\ -21 \\  \end{pmatrix}$

 

内積の計算

公式:

$a=\begin{pmatrix}  p\\q\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}  x\\y\end{pmatrix}$のとき

$a・b=px+qy$

 

例:

$a=\begin{pmatrix}  3\\4\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}  1\\2\end{pmatrix}$の内積は

$a・b=\begin{pmatrix}  3\\4\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  1\\2\end{pmatrix}$

$=3*1+4*2$

$=11$

 

例:

$a=\begin{pmatrix}  3\\4\\5\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}  1\\2\\3\end{pmatrix}$の内積は

$a・b=\begin{pmatrix}  3\\4\\5\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  1\\2\\3\end{pmatrix}$

$=3*1+4*2+5*3$

$=26$

 

例:

$a=\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}  2\\3\end{pmatrix},c=\begin{pmatrix}  1\\-2\end{pmatrix}$のとき,以下の式を確認せよ。

 

① $a・a>0$

 

$a・a=\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}$

$=(-1)*(-1)+2*2$

$=5>0$

※自身と自身の内積は2乗の和になり、実数の2乗は0以上になるため。

 

② $a・c=c・a$

 

$a・c=\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  1\\-2\end{pmatrix}$

$=(-1)*1+2*(-2)$

$=-1-4$

$=-5$

 

$c・a=\begin{pmatrix}  1\\-2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}$

$=1*(-1)+(-2)*2$

$=-1-4$

$=-5$

 

$a・c=c・a$

 

③ $3(a・b)=(3a)・b$

 

$3(a・b)=3\left(\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  2\\3\end{pmatrix}\right)$

$=3((-1)*2+2*3)$

$=3(-2+6)$

$=12$

 

$3(a)・b=\left(3\begin{pmatrix}  2\\3\end{pmatrix}\right)・\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}  6\\9\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}$

$=6*(-1)+9*2$

$=-6+18$

$=12$

 

$3(a・b)=(3a)・b$が成り立っています。

 

④ $a・(b+c)=a・b+a・c$

 

$a・(b+c)=\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\left(  \begin{pmatrix}  2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}  1\\-2\end{pmatrix}\right)$

$=\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  2+1\\3-2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  3\\1\end{pmatrix}$

$=(-1)*3+2*1$

$=-3+2$

$=-1$

 

$a・b+a・c=\left( \begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  2\\3\end{pmatrix}\right)+\left( \begin{pmatrix}  -1\\2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix}  1\\-2\end{pmatrix}\right)$

$=((-1)*2+2*3)+((-1)*1+2*(-2))$

$=-2+6-1-4$

$=-1$

 

$a・(b+c)=a・b+a・c$が成り立っています。

 

まとめ

線形代数学の入り口、ベクトルの超基本的なところをお勉強しました。高校時代もこの程度までならついていけたような気がしますが…

今回はここまで。