行列

今回は行列をお勉強します。今回もまたプログラミングとは直接関係なく純粋に数学のお話になります。

定義

まず、行列とは?

数を長方形に並べてカッコをつけたものを行列という。

 

① $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ これは行列。

② $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ これも行列。

③ $\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0  \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$これも行列.

④ $\begin{pmatrix} 1 & 2  \end{pmatrix}$これも行列。

⑤ $\begin{pmatrix} 1 \\ 2  \end{pmatrix}$これも行列。

⑥ $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$これも行列です。

全て、「数を長方形に並べてカッコをつけ」たもの、になっています。

行列は、横方向に数字が並んているところを「行」、縦方向に数字が並んでいるところを「列」といいます。

①は2行3列型の行列になります。表記の仕方はいくつかありまして、

  • 2×3行列
  • (2,3)型行列
  • 2行3列の行列

と言ったりもします。

 

③のように行数と列数が同じ行列を正方行列といいます。(3,3)行列でもいいです。

また、行列の(i,i)成分(i=1,2,・・・)を対角成分といいます。

(③の行列でいうと 8,5,2 のこと)

また、③のように対角成分以外が0である正方行列を対角行列といいます。

 

④、⑤はベクトルと同じ型をしています。

⑥のように成分がすべて0の行列を零行列といいます。(Oで表します。)⑥は(2,2)型の零行列になります。

 

行列の和・定数倍

ベクトルと同じように考えればOK。

(行列を文字にするときは大文字にするのが慣例)

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$とします。

和:

$A+B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

 

差:

$A-B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$

定数倍:

$3A=3\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 3*1 & 3*2 \\ 3*3 & 3*4 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

 

※行列の和、差は同じ行列同士でないとできません。

 

行列の計算法則

A、B、Cを同じ型の行列とすると行列に和について、以下が成り立つ。

・結合法則

$(A+B)+C=A+(B+C) $

:3つの行列を足すときはどの2つから足してもよい。

 

・交換法則

$A+B=B+A$

:足し算の順序を入れ替えても良い。

 

k,l を実数とすると行列の定数倍について

・行列の分配法則

$k(A+B)=kA+kB$

 

・定数倍の分配法則

$(k+l)A=kA+lA$

 

$k(lA)=(kl)A$

l 倍のk倍は、 一度にkl倍すればよい

 

1・A=A

1をかけても変わらない

 

0・A=0

0(ゼロ)をかけると零行列になる

 

行列を文字と置き換えると普通の文字と同じような計算ができます。

 

まとめ

行列の和、差、定数倍についてお勉強しました。ベクトルとほぼ同じように計算できるので、特に難しいところはなかったように思います。

今回はここまで。