行列の積
今回は行列をかけ合わせます。
行列の和、差についてはこちらへ↓
条件
行列同士を掛け合わせるには条件があります。
行列Aと行列Bの積ABを行うためには，
Aの列数とBの行数が等しくなければならない。
① $A=\begin{pmatrix} 列１ & 列２ \\ 列１ & 列２ \end{pmatrix}$と $B=\begin{pmatrix} 行１ & 行１ \\ 行２ & 行２ \end{pmatrix}$
は「Aの列数とBの行数が等しい」のでOK。
② $A=\begin{pmatrix} 列１ & 列２ \\ 列１ & 列２ \\ 列１ & 列２\end{pmatrix}$と $B=\begin{pmatrix} 行１ & 行１ & 行１\\ 行２ & 行２ & 行２ \end{pmatrix}$
は「Aの列数とBの行数が等しい」のでOK。
③ $A=\begin{pmatrix} 列１ & 列２ \\ 列１ & 列２ \\ 列１ & 列２ \\ 列１ & 列２\end{pmatrix}$と $B=\begin{pmatrix} 行１ & 行１ & 行１\\ 行２ & 行２ & 行２\\ 行３ &行３ &行３ & \end{pmatrix}$
は「Aの列数とBの行数が等し」くないのでNG。
となります。
計算方法：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$とします。
Aは（1行，2列）型、Bは（2行，1列）型。よって「A＝２列、B＝２行」なのでOK。
$AB＝\begin{pmatrix} 1*3+2*4 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3+8 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 11 \end{pmatrix}$
計算方法はベクトルと同じなのですが、計算結果について、ベクトルは「数」行列は「１行１列型の行列」なので（）をつけています。
文字にすると
$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}c \\ d \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} ac + bd \end{pmatrix}$
となります。
２行２列行列と２行２列行列の積は
$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ とすると
$AB=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}$
となります。
その他の行列では
・（１行３列）×（３行１列） ∴３列⇔３行
$\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap + bq + cr\end{pmatrix}$
・（２行２列）×（２行１列） ∴２列⇔２行
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap + bq \\ cp + dq\end{pmatrix}$
・（１行２列）×（２行２列） ∴２列⇔２行
$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap + bq & cp + dq\end{pmatrix}$
・（２行３列）×（３行２列） ∴３列⇔３行
$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u & v \\ w & x \\ y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} au + bw+ cy & av + bx + cz\\ du + ew + fy & dv + ex + fz \end{pmatrix}$
こんな感じになります。
行列の積の計算法則
A、B、Cを行列、kを実数とすると以下が成り立つ。
・k(AB)=(kA)B=A(kB) ：kはいつ掛けても同じ。
・(AB)C=A(BC)：結合法則 ３つの行列の積は計算の順序によらない。
・分配法則：
(A+B)C=AC+AB
A(B+C)=AB+AC
ただし、一般には交換法則は成り立ちません。
$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$とすると
$AB=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1*2+(-1)*(-1) & 1*4+(-1)*1 \\ 2*2+(-3)*(-1) & 2*4+(-3)*1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$
$BA=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 2*1 + 4*2 & 2*(-1) + 4*(-3) \\ (-1)*1 + 1*2 & (-1)*(-1) +1*(-3) \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 11 & -14 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
行列の割り算
単位行列
まずは、どんな数を１倍しても、答えは元の数と変わりません。
1・a = a・1
が成り立ちます。
行列の積で１に相当する行列を単位行列といいます。
単位行列は対角成分が１でそれ以外の成分が０である正方行列です。
例：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$や $\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix}$ です。
では、実際に掛け合わせてみましょう。
$A =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$とします。
$B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$とすると
$AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 1*(-1)+0*(-3) & 1*2+0*4 \\ 0*(-1)+1*(-3) & 1*2+1*4 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$
$BA=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} (-1)*1+2*0 & (-1)*0+2*1 \\ (-3)*1+4*0 & (-3)*0+4*1 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$
よって定義はこうなります。
任意の行列ｎ次行列Aに対して
$AX=XA=A$
を満たすｎ次正方行列Xをｎ次の単位行列といい、EまたはIであらわす。単位行列Eは対角成分がすべて１の対角行列である。
割る＝逆数を掛ける
そして割り算のお話です。通常の割り算は
$a \div b = \frac{a}{b}$としますが、逆数を掛ける、という方法もあります。
$a・\frac{1}{b} = \frac{a}{b}$
逆数は指数表示すると
$\frac{1}{b} = {b}^{-1}$
となります。
そこで、行列の割り算も「逆数を掛ける」という考え方をしてみます。
$\frac{1}{b} ・b=1$のように、ある行列に掛け合わせると１（単位行列）になる逆数のような行列（逆行列という）を計算すればいい、となります。
逆行列の定義：
正方行列Aに対して
$AX=XA=E （Eは単位行列）$
となる行列を逆行列という。
${A}^{-1}$で表す。
※逆行列は正方行列のみに対して考えるもので、正方行列でない行列に対しては考えない
ここでは数式の成り立ちはおいときまして、結論を先に書いておきます。
逆行列：
$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$に対して、$ad-bc \neq 0$ のとき
${A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} \\ \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{pmatrix}$
$ad-bc \neq 0$とあるのは0で割れないからですね。行列も逆行列がない行列があります。
逆行列を持つ行列を正則行列、逆行列を持たない行列を非正則行列といいます。
２次正方行列$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$について
$ad-bc \neq 0$のときAは正則行列
$ad-bc = 0$ のときはAは非正則行列
となります。
連立１次方程式を解く
逆行列を求めて行列の割り算ができるようになると、連立１次方程式が解けるようになります。
例：
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 \\ 2x + 4y = 32 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
文系高卒おじさん的な解き方は、代入か２つの式を足したり引いたりするやり方になります。
２つの式を足したり引いたりしてみましょう。
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 -①\\ 2x + 4y = 32 -② \end{array} \right. \end{eqnarray}$
$①*2 $
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 2y = 20 -①\\ 2x + 4y = 32 -② \end{array} \right. \end{eqnarray}$
$①*2 – ②$
$-2y = -12$
$y = 6$
$①より$
$x + 6 = 10$
$x = 4$
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x =4 \\ y = 6 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
となりました。
逆行列を使う
逆行列を使って解いてみます。
例の再掲：
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 \\ 2x + 4y = 32 \end{array} \right. \end{eqnarray}$
方程式を行列で表します。
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$とすると
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} x + y \\ 2x + 4y \end{pmatrix}$となるので、
$c=\begin{pmatrix} 10 \\ 32 \end{pmatrix}$とおくと、連立方程式は
$Ab=c$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 \\ 32 \end{pmatrix}$
と表せます。
そして、$Ab=c$ に逆行列 ${A}^{-1}$ を掛けます。
${A}^{-1}(Ab)={A}^{-1}c$ ：結合法則
$({A}^{-1}A)b={A}^{-1}c$
$\mathit{E}b={A}^{-1}c$：逆行列の定義 ${A}^{-1}{A}=\mathit{E}$ より
$b={A}^{-1}c$ :$\mathit{E}$ を掛けてももとのまま
となります。
よって
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}={A}^{-1}c$
$ad-bc=1*4-1*2=2\neq0$ なので
逆行列 ${A}^{-1}$は
${A}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
よって
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10 \\ 32 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 2*10+(-\frac{1}{2})*32 \\ (-1)*10 +\frac{1}{2}*32\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$
連立方程式の答えになりました。
まとめ
行列の積になると和、差よりかなり計算が複雑になります。逆行列を使うときに、対応する成分を間違えないようにしましょう。
今回はここまで。
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