掃き出し法

今回は「掃き出し法」についてお勉強します。

 

掃き出し法とは？

定義：

基本変形と呼ばれる３種類の操作を繰り返して、対角成分を１、対角成分以外を０になるように変形していく方法。

３つの基本変形：

  1. 行の交換
  2. 行の定数倍
  3. ある行に行の何倍かを加える

 

基本変形の具体例です。

１.行の交換

例：行列の①と②を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-3} \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ -③\end{array}$　→ $\begin{pmatrix} \color{blue}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-3}\\\color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{blue}{-②} \\\color{red}{-①} \\ -③\end{array}$

どの２つの行を入れ替えてもOK。

 

２.行の定数倍

例：特定の行を定数倍します。どの行でも、定数倍は何倍でもOK。

２行目を３倍してみます。

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-3} \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ -③\end{array}$　→　$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{3*(-1)} & \color{blue}{3*(-2)} & \color{blue}{3*(-3)} \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ -③\end{array}$

→$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{-3} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{-9} \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ -③\end{array}$

 

３.ある行に別の行の何倍かを加える

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-3} \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ -③\end{array}$

→　①を２倍して③に加えます。

①×２→$（2*1=2 \quad 2*2=4 \quad 2*3=6）$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-3} \\ -2+2 & 0+4 & 4+6\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ -③\end{array}$  →  $\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-3} \\ 0 & 4 & 10\end{pmatrix}$

 

正方行列でない場合の掃き出し法

例：この行列　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{3} & 2 \end{pmatrix}$　に掃き出し法を使って２列目まで（マゼンダ色の部分）を単位行列にせよ。

 

問題の趣旨：

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{3} & 2 \end{pmatrix}$　　→　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{1} & \color{magenta}{0} & x \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & y \end{pmatrix}$　となるようにしてください、ということです。

 

解答：

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{3} & 2 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\end{array}$　　　から

②×5

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{2} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{5*（-1）} & \color{magenta}{5*3} & 5*2 \end{pmatrix}$

→　　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{-5} & \color{magenta}{15} & 10 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②’}\end{array}$

 

②’に①を足す

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{(-5)+5} & \color{magenta}{15+(-2)} & 10+(-6) \end{pmatrix}$

→　　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{13} & 4 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

 

②’’× $\frac{1}{13}$

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{\frac{1}{13}*0} & \color{magenta}{\frac{1}{13}*13} & \frac{1}{13}*4 \end{pmatrix}$

→　　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{-2} & -6 \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & \frac{4}{13} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②’’’}\end{array}$

 

②’’’×２を①に足す

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5+(2*0)} & \color{magenta}{(-2)+(2*1)} & (-6)+(2*\frac{4}{13}) \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & \frac{4}{13} \end{pmatrix}$

→　　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{5} & \color{magenta}{0} & \frac{70}{13}\\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & \frac{4}{13} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’’}\end{array}$

 

①’×$\frac{1}{5}$

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{\frac{1}{5}*5} & \color{magenta}{\frac{1}{5}*0} & \frac{1}{5}*\frac{70}{13}\\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & \frac{4}{13} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’}\\ \color{blue}{-②’’’}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{1} & \color{magenta}{0} & \frac{14}{13}\\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & \frac{4}{13} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’’}\end{array}$

 

これで完成です。

 

連立１次方程式への応用

掃き出し法を使うことで連立１次方程式が解けるようになります。

例：

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 \\ 2x + 4y = 32 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

連立方程式の係数を行列に置き換えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 10 \\ 2 & 4 & 32 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\end{array}$

掃き出し法を使ってこの形まで変形させます。

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{1} & \color{magenta}{1} & 10 \\ \color{magenta}{2} & \color{magenta}{4} & 32 \end{pmatrix}$　→　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{1} & \color{magenta}{0} & x \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & y \end{pmatrix}$

 

では、始めます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 10 \\ 2 & 4 & 32 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\end{array}$

 

②に$\frac{1}{4}$ を掛ける

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 10 \\ 2*\frac{1}{4} & 4*\frac{1}{4} & 32*\frac{1}{4} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} 1& 1 & 10 \\ \frac{1}{2} & 1 & 8 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②’}\end{array}$

 

②’に　-1　を掛ける

$\begin{pmatrix} 1& 1 & 10 \\ (-1)*\frac{1}{2} & (-1)*1 & (-1)*8 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②’}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} 1& 1 & 10 \\ -\frac{1}{2} & -1 & -8 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

 

①に②’’を足す

$\begin{pmatrix} 1+(-\frac{1}{2})& 1 -1& 10-8 \\ -\frac{1}{2} & -1 & -8 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}& 0 & 2 \\ -\frac{1}{2} & -1 & -8 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

 

①’’に　2　を掛ける

$\begin{pmatrix} 2*\frac{1}{2}& 2*0 & 2*2 \\ -\frac{1}{2} & -1 & -8 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -\frac{1}{2} & -1 & -8 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

 

②’’に　2　を掛ける

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2*(-\frac{1}{2}) & 2*(-1) & 2*(-8) \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 　-1 & -2 & -16 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’’}\end{array}$

 

②’’’に①’’’を足す

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 　(-1)+1 & (-2)+0 & (-16)+4 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’’}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 　0 & -2 & -12 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’’’}\end{array}$

 

②’’’’に　$-\frac{1}{2}$　を掛ける

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 　(-\frac{1}{2})*0 & (-\frac{1}{2})*(-2) & (-\frac{1}{2})*(-12) \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’’’’}\end{array}$

→　　$\begin{pmatrix} \color{magenta}{1}& \color{magenta}{0} & 4 \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & 6 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’’}\\ \color{blue}{-②’’’’’’}\end{array}$

単位行列が現れたので変形は終了です。

よって

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = 6 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

となりました。

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 10 \\ 2x + 4y = 32 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

の解になっているはずです。

 

まとめ

行列の掃き出し法をやってみました。どうも手順が最短ではないような…まあ、そのうち慣れるでしょう。

現段階では連立１次方程式を解くために掃き出し法を使いましたが、簡単な計算に使うには時間がかかりすぎるような気がしないでもないですが…ただ、掃き出し法はいろんなことに応用できるようで、今参考にしている本には「掃き出し法を覚えれば線形代数の大半のことができてします」そうです。

 

今回はおまけ付きです。

 

おまけ

wp での数式の表示に苦労したので、シェアします。

 

「Simple MathJax」というプラグインをいれておりまして、今回の数式のコードを表示しますので参考にしてください。

 

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{-3} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{-9} \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ -③\end{array}$

これを表示するには以下の通りです。

 

（※改行のままだと表示しないので実際には全てつなげてください）

$\begin{pmatrix}

\color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\

\color{blue}{-3} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{-9} \\

-2 & 0 & 4

\end{pmatrix}

\begin{array}{ccc}

\color{red}{-①}\\

\color{blue}{-②}\\

-③

\end{array}$

 

行列内の色付けですがまとめてできないようで、一つ一つに色指定をしています。

\color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\のところ

\color{red}{1 & 2 & 3}にすると表示しません。

もしブログなんかに数式を書く機会がありましたら参考にしてください。

今回は以上です。