行列の掃き出し法 その2

行列の掃き出し法についてです。

この回では

  • 3元連立1次方程式
  • 逆行列

をやります。

掃き出し法のやり方、掃き出し法を2元連立1次方程式に使う方法はこちら↓

文系高卒おじさん うっかり行列を掃き出してしまう。(掃き出し法)

3元連立1次方程式への応用

今回は、掃き出し法を3元連立1次方程式へ使ってみます。

例:

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 4x + 2y -z = 5 \\ -x + 3y + 2z= 11 \\ -3x -y +3z = 4 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

 

解答:

係数を行列の形にします。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & 5 \\ -1 & 3  & 2 & 11 \\ -3 & -1 & 3 & 4\end{pmatrix}$

この行列を掃き出し法を使って

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{1} & \color{magenta}{0} & \color{magenta}{0} & x \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1}  & \color{magenta}{0} & y \\ \color{magenta}{0} & \color{magenta}{0} & \color{magenta}{1} & z\end{pmatrix}$

まで変形するのが目的です。

 

$\begin{pmatrix} \color{red}{4} & \color{red}{2} & \color{red}{-1} & 5 \\ \color{blue}{-1} & \color{blue}{3}  & \color{blue}{2} & 11 \\ \color{green}{-3} & \color{green}{-1} & \color{green}{3} & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\\ \color{green}{-③}\end{array}$

 

①に③を足す

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & 9 \\ \color{blue}{-1} & \color{blue}{3}  & \color{blue}{2} & 11 \\ \color{green}{-3} & \color{green}{-1} & \color{green}{3} & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②}\\ \color{green}{-③}\end{array}$

 

②に①’を足す

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & 9 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{4}  & \color{blue}{4} & 20 \\ \color{green}{-3} & \color{green}{-1} & \color{green}{3} & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’}\\ \color{green}{-③}\end{array}$

 

②’に×$\frac{1}{4}$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & 9 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1}  & \color{blue}{1} & 5 \\ \color{green}{-3} & \color{green}{-1} & \color{green}{3} & 4\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’}\\ \color{green}{-③}\end{array}$

 

③に①’×3を足す

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & 9 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1}  & \color{blue}{1} & 5 \\ \color{green}{0} & \color{green}{2} & \color{green}{9} & 31\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’}\\ \color{green}{-③’}\end{array}$

 

③’に②’’×(-2)を足す

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & 9 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1}  & \color{blue}{1} & 5 \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{7} & 21\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’}\\ \color{green}{-③’’}\end{array}$

 

③’’×$\frac{1}{7}$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & 9 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1}  & \color{blue}{1} & 5 \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} & 3\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’}\\ \color{green}{-③’’’}\end{array}$

 

①’に②’’×(-1)を足す

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{1} & 4 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1}  & \color{blue}{0} & 2 \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} & 3\end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’’}\\ \color{blue}{-②’’}\\ \color{green}{-③’’’}\end{array}$

 

①’’に③’’’×(-1)を足す

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & 1 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1}  & \color{blue}{0} & 2 \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} & 3\end{pmatrix}$

 

よって連立方程式の解はこうなりました。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

 

逆行列の計算

掃き出し法で逆行列を求めることができます。

 

例:(2,2)型

問:次の行列の逆行列を求めよ。

A=$\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$

 

目標:

この行列の右に2次の単位行列を並べます。

$\begin{pmatrix} \color{magenta}{2} & \color{magenta}{5} & 1 & 0\\ \color{magenta}{8} & \color{magenta}{1} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これを掃き出し法を使って

$\begin{pmatrix}1 & 0 & \color{magenta}{a} & \color{magenta}{b}  \\ 0 & 1 & \color{magenta}{c} & \color{magenta}{d}  \end{pmatrix}$

まで変形させます。

 

解答:

$\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 0\\ 8 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①}\\ \color{blue}{-②}\end{array}$ から

 

①×(1/2)と②×(1/8)

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ 1 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’}\end{array}$

 

②’に①’×(-1)を足す

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ 1 + (-1) *1& \frac{1}{8}+(-1)*\frac{5}{2} & 0+(-1)*\frac{1}{2} & \frac{1}{8}+0 \end{pmatrix}$

→  $\begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & -\frac{19}{8} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{8} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’}\end{array}$

 

②’’に$-\frac{8}{19}$を掛ける

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 1 & \frac{4}{19} & -\frac{1}{19} \end{pmatrix}\begin{array}{ccc}\color{red}{-①’}\\ \color{blue}{-②’’’}\end{array}$

 

①’に②’’’×$(-\frac{5}{2})$を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2}+1*(-\frac{5}{2}) & \frac{1}{2}+\frac{4}{19}*(-\frac{5}{2}) & 0+ (-\frac{1}{19})*(-\frac{5}{2})\\\ 0 & 1 & \frac{4}{19} & -\frac{1}{19} \end{pmatrix}$

→ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \color{red}{-\frac{1}{38} }& \color{red}{\frac{5}{38}}\\ 0 & 1 & \color{red}{\frac{4}{19}} & \color{red}{-\frac{1}{19} }\end{pmatrix}$

行列の左側が単位行列になりました。赤色の数値が逆行列になっているはずです。

 

実際に掛け合わせてみましょう。

${A}=\begin{pmatrix} 2 & 5  \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$

${A}^{-1}=\begin{pmatrix} \color{red}{-\frac{1}{38} }& \color{red}{\frac{5}{38}}\\  \color{red}{\frac{4}{19}} & \color{red}{-\frac{1}{19} }\end{pmatrix}$=$-\frac{1}{38}\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -8 & 2 \end{pmatrix}$

 

${A}{A}^{-1}=-\frac{1}{38}\begin{pmatrix} 2 & 5  \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -8 & 2 \end{pmatrix}$

=$-\frac{1}{38}\begin{pmatrix} 2*1 + 5*(-8) & 2*(-5)+5*2 \\ 8*1+1*(-8) & 8*(-5)+1*2 \end{pmatrix}$

=$-\frac{1}{38}\begin{pmatrix} -38 & 0 \\ 0 & -38\end{pmatrix}$

=$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$=E

掛け合わせると単位行列になりました。

 

また、逆行列の定義に出てきた公式通りになっています。

${A}=\begin{pmatrix} 2 & 5  \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$

${A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

$=\frac{1}{2*1-5*8}\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -8 & 2 \end{pmatrix}$

$=-\frac{1}{38}\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -8 & 2 \end{pmatrix}$

 

まとめ

行列の掃き出し法を1次方程式の解と逆行列を求めるために使ってみました。個人的な感想としては、理論そのものは現段階ではそこまで難しくないのですが、逆行列の手計算はとにかく間違えやすいです。

今回はここまで。